Tryggvi a organisé de nombreuses expositions de ses œuvres aux États-Unis et au Canada, parrainées par la California Alliance for the Arts et le National Endowment for the Arts. Il a également donné une conférence sur son travail à l'université d'État du Minnesota dans le cadre de la série de conférences du Northwest Art Center, et a fait l'objet d'interviews télévisées et de nombreux articles sur son travail aux États-Unis, au Canada et en Islande. Tryggvi possède des installations artistiques publiques permanentes au Musée américain du patrimoine nordique de Seattle (Washington), à la Galerie d'art public de Gimli (Manitoba, Canada), au Musée de l'immigration de Hofsos (Islande) et au siège de la Ligue nationale islandaise d'Amérique du Nord.

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Tryggvi a reçu de nombreux prix et distinctions pour son art patrimonial, notamment pour ses œuvres d'art données, dont le prix de l'artiste de l'année 2012 lors du concours organisé par le Norsk Hostfest (le plus grand festival scandinave d'Amérique) à Minot, dans le Dakota du Nord. Il a été sélectionné en 2017 pour faire partie de l'équipe islandaise participant au 27e championnat international annuel de sculpture sur neige à Breckenridge, dans le Colorado.